이전 글( 적분의 기초 이해 )에서 적분이 무엇인지 배웠다. 이제 정적분과 부정적분을 알아보자. 적분이란 함수의 값의 누적량(또는 함수가 나타내는 넓이)이다. 그런데 함수의 범위는 무한하므로 넓이를 잴 때는 기준이 있어야한다. 어디부터 어디까지 넓이를 잴 것인지 알아야한다. 이것이 정적분이다.  정적분은 아래와 같이 표현한다.\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] \( a \)는 면적을 재는 시작지점, \( b \)는 끝나는 지점이다.위 예시를 적분 식으로 나타내면 아래와 같다.\[ \int_1^3 f(x) \, dx = F(3) - F(1) \] 대문자\( F \)는 주어진 함수 \( f(x) \)를 적분한 함수를 나타내며 원시함수라고도 한다. 원시함수라는 말이 원래의 ..

기울기와 접선과 미분 그리고 평균 기울기와 순간 기울기 앞서 미분에 대해 배웠다.1. 기울기와 접선과 미분 그리고 평균 기울기와 순간 기울기2. 편미분의 이해이제 반대 개념인 적분을 알아보자. 적분이란 단어를 보자. "적"은 누적하다 할때 적이다. "분"은 분해하다 할 때 분이다. 분해한 것을 누적해가며 더하는 것이 적분인 것이다. 적분의 간단한 예를 들어보자. 시간당 만원을 번다고 하자. 1시간 일하면 1만원을, 2시간 일하면 2만원을, 10시간 일하면 10만원을 번다. 시간이 누적되면 버는 돈도 누적된다. 이때 원함수를 시간당 버는 돈이라고 하면, 적분함수는 총급여이다. 수식으로 표현하자면 \( f(x) = 1 \)이고, \( F(x) = 1 * x \)가 될 것이다. 대문자 \( F \)는 보통 함..

지난 글에서 미분에 대해 배웠다. ( 기울기와 접선과 미분 그리고 평균 기울기와 순간 기울기 )다시 정리해보자면 미분은 원 함수의 기울기에 대한 함수를 구하는 것이다. 미분 값은 그 지점에서의 순간 기울기이다. 순간 기울기는 접선의 기울기이다. 그런데 \( x \)의 함수에서는 이게 간단하다. \( x \)의 함수란 \( x \)에 따라 나온 결과 값인 \( y \) 값을 그린 것이므로 결국 하나의 변수에 대한 하나의 결과를 의미한다. 여기서 어떤 지점에서 순간 기울기에 대한 식을 알고 싶으면 독립변수가 \( x \)만 있으니 \( x \) 대해서만 미분하면 그게 끝이였다. 그런데 차원을 하나 높여서 \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) 함수를 보자. 다르게 표현하자면 \( z = x^2 + y^..

지난 글에서는 함수와 그래프에 대해 썼다.1. 그래프의 이해 - 좌표평면, 직교 좌표계2. 그래프의 이해 - 그래프 읽는 법과 함수 이제 기울기와 접선과 미분에 대해 설명하겠다.기울기는 지난글에도 잠깐 언급했는데, \( x \) 가 증가할 때, \( y \)가 얼마나 증가했는지 보는 것이다.\( y = 2x \) 그래프에서 기울기는 2이다. \( x \)가 1 증가할 때 \( y \)는 2 증가한다.그런데 기울기를 볼 때 어디서부터 어디까지 기준이 있을 것이다. 그리고 이게 평균 기울기다. 아래 그래프를 보자. \( y = x^2 \)그래프는 직선이 아니다. 그래서 기울기는 측정 지점마다 달라진다. 아래 예시를 보자.\( y = x^2 \)그래프를 따라 \( (0, 0) \) 에서 \( (1, 1) \)..

지난 포스트에서는 그래프의 바탕이 되는 좌표평면에 대해 설명했다.( 그래프의 이해 - 좌표평면, 직교 좌표계 ) 이번엔 그래프 읽는 법을 설명한다. 사실 좌표평면에 대해 이해를 정확히 했다면 읽는 방법은 쉽다. x축을 따라 얼마나 갔는지, y축을 따라 얼마나 갔는지 보면 된다. 일종의 지도와 같다. 지도에서 오른쪽은 동쪽을 위쪽은 북쪽을 가리킨다. 방위를 중심으로 내가 어디에 있는지 목적지는 어떤 방향으로 가야하는지 얼마나 떨어져 있는지 쉽게 알 수 있다.위 그래프에서 빨간 점은 x축(가로축)을 따라 원점에 있으므로 x축 좌표는 0이다. y축(세로축)을 따라 원점에 있으므로 y축 좌표도 0이다. 그래서 (0, 0)에 있다고 한다. 보통 x축 좌표먼저 읽고 다음은 y축으로 읽는다. 그래서 반점(,)을 기준..

그림으로 그리는 경제를 포스팅하면서, 아무래도 수학에 대해 간단히 집고 넘어가지 않을 수 없게 되었다. 그래프란 무엇일까. 단순하다. 공간 위에 위치를 그려놓는 것이다.어떤 세 점을 그려보자. 그런데 이 세점의 위치를 누군가에 설명할 때 어떻게 할 것인가?파란 점은 빨간 점에서 오른쪽으로 2cm, 위로 2cm 떨어져있고, 초록 점은 빨간 점에서 오른쪽으로 3cm, 위로는 0cm 떨어져있다. 우리는 위치를 설명할 때 자연스럽게 기준을 잡는다. 그래야 위치를 설명할 수 있다. 이 자연스런 생각이 곧 좌표평면이다.좌표평면이란 원점을 기준으로  x축으로 얼마나 떨어져있는지, y축으로 얼마나 떨어져 있는지 좌표를 찍어가며 그리는 평면이다.위와 같이 그리고, 초록 점은 (3,0)으로 파란 점은 (2,2) 라고 간단..

일반적인 수요와 곡급 곡선은 위와 같다. 탄력성에 대해서는 지난 포스트에서 썼으므로 수요의 가격 탄력성에 대해 간단히 정의하자면, 수요의 가격 탄력성은 말 그대로 수요가 가격에 따라 탄력적인지 아닌지를 보는 것이다.가격에 따라 수요가 요동치면 가격 탄력이 있다. 반대로 가격과 무관하게 수요가 고정되어 있으면 가격탄력이 없는 것이다. 위 그래프를 보자. 수요의 가격 탄력성이 없으면 그래프는 수직이 된다. 가격과 무관하게 수요 수량은 항상 고정되어있기 때문이다.가격과 무관하게 수요가 고정되어 있는 것이 무엇이 있을까? 극단적인 예로 공기를 들 수 있겠다. 사람은 공기 없이는 5분이내 사망한다. 또 비슷하게 물이 있다. 또 식품 같은 생필품이 있을 것이다. 주거공간도 마찬가지다. 또 먹지 않으면 죽는 의약품이..

이전 포스트에서 수요 증대를 통해 잉여를 증가시봤다. 그런데 수요가 증가했지만 소비자 잉여는 증가하는지는 미지수다. 공급곡선과 수요곡선의 각도에 따라 달라진다. 다시 사과를 보자. 사과가 몸에 좋다고 소문이 나 갑자기 수요가 폭발적으로 늘었다. 그런데 사과란 것은 갑자기 생산이 불가능하다. 생산자가 팔고자해도 팔 수가 없는 것이다. 이미 나무를 심었고 사과 농사가 시작되었으면 그해 사과의 공급량은 사실상 정해져있다.그래프를 다시 그려보자.가격이 어찌되었든 사과의 수량은 이미 정해져있다. 그래서 공급곡선은 수직으로 서게된다.(다시 말하지만 가격과 무관하게 수량은 정해져 있으므로 그래프를 그리면 수직이 된다.) 물론 장기적으로 봤을 때 사과의 가격이 오르면 사과나무를 심고, 관리 인력을 더 투입해서라도 더 ..

지난 포스트에서 소비자 잉여와 생산자 잉여를 배웠다. 그럼 잉여를 증가시키는 방법은 무엇일까? 상식적으로 생각해보자. 균형수량이 거래량이다. 총잉여가 증가하려면 거래가 줄어야 할까 많아져야 할까? 당연히 많아져야한다. 교류가 줄어드는데 잉여가 커질리 만무하다. 경제란 사람 사이의 교류가 핵심이다.그럼 거래가 많아지는 방법은 무엇일까? 수요가 늘고, 공급이 늘면 된다. 먼저 수요가 증가할 때를 보자.수요가 증가한다는 것은 무슨 말인가? 그 물건을 이전보다 더 사고 싶어한다는 뜻이다. 갑자기 사과가 열풍이 불었다. 사람들이 너도나도 사과를 사고싶어한다. 기존에 500원에 사고 싶던 사람은 1000원을 주고서라도 사고 싶어하고, 사과에 관심이 없던 사람도 사과를 사고 싶어한다. 이전엔 600원에 7명이 줄 섰..

지난 포스팅에서 위와 같은 그래프를 봤다. 당연한 말이지만 반복하자면 구매자는 항상 자신이 생각했던 가격 이하에 구매한다. 판매자는 자신이 생각했던 가격 이상에서 판매한다. 경제학에서 잉여라는 말이 있다. 본인이 생각했던 가격대비 시장가격의 차이가 잉여다. 700원에 사려고 했는데 500원에 샀으면 200원이 소비자 잉여다. 300원에 파려고 했는데 500원에 팔았으면 200원이 생산자 잉여다. 이를 그림으로 다시 그려보면 다음과 같다.그리고 총잉여는 당연히 소비자 잉여 + 생산자 잉여 이다. 사과를 700원에 사려고 했는데 500원에 샀으니 200원 이익이라고 했다. 그럼 잉여라는 것이 객관적인 경제 지표가 아닌 주관적 지표가 아닌가 생각할 수 있다. 사과 한 알에 700원까지 생각하는 것은 주관적 생..