적분의 기초 이해

기울기와 접선과 미분 그리고 평균 기울기와 순간 기울기

 

앞서 미분에 대해 배웠다.

1. 기울기와 접선과 미분 그리고 평균 기울기와 순간 기울기

2. 편미분의 이해

이제 반대 개념인 적분을 알아보자.

 

적분이란 단어를 보자. "적"은 누적하다 할때 적이다. "분"은 분해하다 할 때 분이다. 분해한 것을 누적해가며 더하는 것이 적분인 것이다.

 

적분의 간단한 예를 들어보자. 시간당 만원을 번다고 하자. 1시간 일하면 1만원을, 2시간 일하면 2만원을, 10시간 일하면 10만원을 번다. 시간이 누적되면 버는 돈도 누적된다. 이때 원함수를 시간당 버는 돈이라고 하면, 적분함수는 총급여이다. 수식으로 표현하자면 \( f(x) = 1 \)이고, \( F(x) = 1 * x \)가 될 것이다. 대문자 \( F \)는 보통 함수 \( f \)를 적분한 뒤 나오는 함수를 뜻한다.

 

적분을 표현하자면 다음과 같다.

\[
\int f(x) \, dx = F(x) + C
\]

\( \int \)는 적분 기호다. 라틴어의 합계 "summa"의 S를 길게 쓴 것으로 무한히 작은 값을 무한히 합한다는 뜻으로 보면 된다. 적분이 끝나는 지점에 \( dx \)를 쓰고 있는데, 이는 단순히 적분을 마감하는 기호가 아니다. 식 그대로 \( f(x) \)와 미소구간 \( dx \)을 곱한 뒤 더하겠다는 뜻이다. 지금은 이 말이 무슨 의미인지 잘 와닿지 않을 것이다. 이 페이지를 다 읽고 나면 자연스럽게 이해된다.

여기서 C는 상수이다. 지금은 일단 의미 없는 아무 숫자라고 생각해두자.

 

적분함수인 \( F(x) \)를 미분하면 원함수가 나온다.

\[
F'(x) = f(x)
\]

 

다시 정리를 해보자.

 

미분을 한다는 것은 원함수의 변화율에 대한 함수(기울기에 대한 함수)를 구하는 것이다.

미분을 한다는 것은 원함수의 변화율에 대한 함수(기울기에 대한 함수)를 구하는 것이다.

 

 

적분을 한다는 것은 원함수의 합산에 대한 함수를 구하는 것이다.

적분을 한다는 것은 원함수의 합산에 대한 함수를 구하는 것이다.

 

 

 

그런데 누적에 대한 함수는 어떻게 구할까? 아래 그래프를 보자.

\( f(x) \) 를 다 더해 나가는 것이 적분이다. 위 그래프에선 파란색으로 칠해진 부분의 면적이 \( x \)의 범위가 0에서 2까지의 적분값이다.

 

 

\( f(x) \)가 직선이라면 사각형 또는 삼각형의 넓이를 구하면 될 것이다. 그런데 직선이 아니고 곡선이다. 곡선 밑의 넓이를 어떻게 구할까? 아래 그림을 보자. 등분을 나눠서 사각형의 넓이를 계산해 보는 방법이 있을 것이다.

\( y=x^2 \) 의 그래프 중 \( x )\축에 대해 0~2까지를 4등분 하고 그 합은 노란 사각형의 넓이다. 파란색의 누락된 부분이 상당히 커 보인다.

\( x \)축에 대해 4등분 했다. 그런데 곡선의 넓이는 계산할 수 없으니, 사각형의 넓이만 구해보자. 실제 그래프 밑의 면적과 비슷할까? 그래프만 봐도 누락된 면적(파란색 부분)이 상당하다.

 

이제 같은 그래프를 \( x \)축에 대해 10등분 하고 사각형의 면적을 구했다

이제 같은 그래프를 \( x \)축에 대해 10등분 해보자. 그래프 밑의 전체 면적 중 노란 사각형의 비중이 아까 4등분 했을 때보다 커졌다. 같은 말이지만 누락된 파란색 면적은 줄었다.

 

\( x \)축에 대해 100등분 했을 때 그래프

이제 같은 그래프를 \( x \)축에 대해 100등분 해보자. 이쯤되면 확연히 누락된 파란색 면적은 줄어든다.

\( x \)축에 대해 1000등분 했을 때 그래프. 노란 사각형의 경계가 검정색으로 처리했는데 경계선 때문에 노란색이 안 보인다.

이제는 1000등분 해보자. 누락된 파란색 부분이 사실상 보이지 않는다.

실제 곡선 밑의 면적과 등분으로 나눈 사각형의 합은 등분을 많이 나눌수록 정확해진다. 그런데 적분을 한다는 것은 1000등분 수준으로 나누는 것이 아니다. "무한히" 쪼갠다. 그러면 실제 면적과 적분의 값은 수렴한다.

 

적분을 한다는 것은 그래프를 무한히 나눠서 합산을 시킨다는 뜻이다. 누적하다의 "적" 분해하다의 "분" 그래서 적분인 것이다.

 

 

위 과정을 식으로 표현하면 다음과 같다.

 

1. 구간을 작은 부분으로 나누기

함수 \( f(x) \)의 구간 \([a, b]\)를 \(n\)개의 작은 구간으로 나누어 각 구간의 길이를 \[ \Delta x = \frac{b-a}{n} \] 라 정의한다.

각 작은 구간에서 \( x_i \)는 \( i \)-번째 구간의 임의의 점이다.

 

2. 구간별 면적의 합 계산

각 구간에서 \( f(x_i) \cdot \Delta x \)로 면적을 근사할 수 있다. \( n \)개의 구간의 합을 계산하면 아래 수식이 된다.

\[ \text{그래프의 면적} ≒ \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x \]

참고로 이렇게 작은 부분으로 쪼갠 사각형의 합을 구하는 것을 리만 합(Riemann Sum)이라한다.

그리고 함수를 많이 쪼갤수록 - \( n \)이 커질수록 - 실제 그래프의 면적과 위의 식에서 총합(리만합)이 근접해질 것이다.

 

3. \( n \to \infty \)로 극한 계산

구간을 무한히 작게 나누면 (\( n \to \infty \)), 근사값은 정확한 값에 수렴한다.

\[ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x \]

 

 

 

이제는 처음에 썼던 적분의 식이 완전히 이해 될 것이다. 처음에 했던 말을 다시 쓰도록 하겠다.

\[
\int f(x) \, dx = F(x) + C
\]
\( \int \)는 적분 기호다. 라틴어의 합계 "summa"의 S를 길게 쓴 것으로 무한히 작은 값을 무한히 합한다는 뜻으로 보면 된다. 적분이 끝나는 지점에 \( dx \)를 쓰고 있는데, 이는 단순히 적분을 마감하는 기호가 아니다. 식 그대로 \( f(x) \)와 미소구간 \( dx \)을 곱한 뒤 더하겠다는 뜻이다.

 

마지막으로 아래 그림을 보자.

적분의 의미와 적분 기호

적분에서 누락된 면적을 무시할 수 있는 이유

 

적분 상수인 C가 나오는 이유에 대해서는 다음 포스팅에서 다루도록 하겠다.

정적분과 부정적분