그래프의 이해 - 그래프 읽는 법과 함수

지난 포스트에서는 그래프의 바탕이 되는 좌표평면에 대해 설명했다.( 그래프의 이해 - 좌표평면, 직교 좌표계 )

 

이번엔 그래프 읽는 법을 설명한다.

 

사실 좌표평면에 대해 이해를 정확히 했다면 읽는 방법은 쉽다. x축을 따라 얼마나 갔는지, y축을 따라 얼마나 갔는지 보면 된다. 일종의 지도와 같다. 지도에서 오른쪽은 동쪽을 위쪽은 북쪽을 가리킨다. 방위를 중심으로 내가 어디에 있는지 목적지는 어떤 방향으로 가야하는지 얼마나 떨어져 있는지 쉽게 알 수 있다.

위 그래프에서 빨간 점은 x축(가로축)을 따라 원점에 있으므로 x축 좌표는 0이다. y축(세로축)을 따라 원점에 있으므로 y축 좌표도 0이다. 그래서 (0, 0)에 있다고 한다. 보통 x축 좌표먼저 읽고 다음은 y축으로 읽는다. 그래서 반점(,)을 기준으로 왼쪽은 x축 좌표, 오른쪽은 y축 좌표이다. 그럼 초록 점은 당연히 (3, 0)이다. 파란 점은 (2, 2)가 된다.

 

그런데 보통 좌표명면은 수학에서 함수를 표현하려고 쓴다. 함수는 x에 어떤 수를 넣으면 y는 어떤 수가 나오는지 보는 일종의 공식이라 보면된다. 함수를 굳이 좌표평면 위에 그리는 이유는 함수가 공간에서 어떤 모양인지 어떤 의미인지 파악하기 위해 그림으로 볼 필요가 있기 때문이다. 그래프로 시각화하지 않으면 함수가 어떻게 생겼는지 이해하기 어려울 것이다. 지도가 없으면 우리나라가 어떤 모양인지 알기 힘들다.

 

y = 2x 라는 함수가 있다면, x에 0을 넣으면 y도 0 이다.(0, 0) x에 1을 넣으면 y는 2이다.(1, 2) 이렇게 일일이 대입해 그래프에 그려보면 아래와 같이 나온다.

y = 2x 그래프

 

그런데 일일이 대입하면 시간이 많이 걸린다. 그래서 복잡한 함수는 컴퓨터를 통해 대입하여 모양을 그린다. 대입법이 별거 아닌 듯하지만 어떤 함수의 해를 구하는 것은 수학을 통해 손으로 풀 수 없는 것들이 많다. 그럴 때는 컴퓨터를 통한 수치해석으로 답을 찾아낸다.

 

간단한 함수의 경우 대입하다 보면 통찰을 얻을 수 있는데, 위의 y = 2x의 그래프는 (0,0)을 지나면서 x보다 y가 두 배가 되는 것을 알 수 있다. 당연히 y가 x보다 2배 크므로 경사가 가파르게 보인다. 이런 경사를 기울기라 하는데 기울기는 x가 증가할 때 y의 증가량이 몇 배인지 보겠다는 것이다. y = 2x의 기울기는 2이다. y = a * x 의 식에서의 기울기는 a가 되는 것이다. 

 

그럼 y = x 는 어떻게 될까. x와 y가 같다. 그럼 x가 변할 때 x의 증가량과 y의 증가량이 같다. 기울기는 1이된다.

y = x 그래프

 

 

y = 3x 를 보자. x가 변할 때 y는 3배 변한다. 기울기는 3이된다.

y = 3x 그래프

 

 

y = x + 1은 어떻게 될까. y = x 라는 함수와 비교해서 x 에 1을 더 해줬다. y 값은 기존보다 1씩 올라갔을 것이다.

그래서 그래프 모양은 위로 1씩 올라갈 거라 추측할 수 있다.

y = x + 1 그래프

 

 

y = a * x + b 로 나타내는 간단한 1차 함수의 경우 그래프를 몇번 그려보면 그 특징을 쉽게 알 수 있다. a는 기울기가 되는 것이고, b는 그래프가 전체적으로 위로 얼마나 올라갔는지를 보는 값이 될 것이다.

 

수학에서 x절편은 x축과 만나는 점(y = 0 일 때 x의 값), y절편은 x축과 만나는 점(x = 0 일 때 y의 값)이라고 정의하는데, 특별히 x절편을 함수의 해라고 한다. 함수의 해를 구하라 하면 x축과 만나는 값을 구하면 되는 것이다.