정적분과 부정적분

 

 

이전 글( 적분의 기초 이해 )에서 적분이 무엇인지 배웠다. 이제 정적분과 부정적분을 알아보자.

 

적분이란 함수의 값의 누적량(또는 함수가 나타내는 넓이)이다. 그런데 함수의 범위는 무한하므로 넓이를 잴 때는 기준이 있어야한다. 어디부터 어디까지 넓이를 잴 것인지 알아야한다. 이것이 정적분이다.

 

정적분의 예시 1~3까지 넓이는 정적분을 통해 구한다.

 

정적분은 아래와 같이 표현한다.

\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]

 

\( a \)는 면적을 재는 시작지점, \( b \)는 끝나는 지점이다.

위 예시를 적분 식으로 나타내면 아래와 같다.

\[ \int_1^3 f(x) \, dx = F(3) - F(1) \]

 

대문자\( F \)는 주어진 함수 \( f(x) \)를 적분한 함수를 나타내며 원시함수라고도 한다. 원시함수라는 말이 원래의 함수라는 말로 헷갈릴 수 있는데, 적분한 뒤 나오는 함수를 원시함수라 한다. 어원은 정확히는 모르겠지만 아마 \( f(x) \)를 \( F(x) \)의 미분 결과로 보는 관점에서 수학에선 원시함수를 \( f(x) \)를 적분한 함수로 하는 듯 하다. 아마 미분이 먼저 정리되고, 나중에 적분이 정리된 듯한데, 그래서인지 적분을 역도함수란 말로도 표현한다. 미분된 함수인 도함수를 역으로 해서 원시함수를 구한다는 표현이다.

 

 

적분은 함수의 넓이를 계산하므로, 어디부터 어디까지 넓이인지에 따라 값이 다른다. 하지만 기준점이 잡히면 그 뒤에 면적은 알 수 있다. 그래서 어디가 기준점인지 모르기 때문에, 적분의 결과로 나타나는 함수에는 적분 상수 C가 붙으며, 이를 부정적분이라 한다. 수학에서 부정이라 하면 특정하지 않음을 의미한다. 부정적분은 적분 구간이 없기 때문에 결과가 무한히 많을 수 있고 이를 표시하고자 적분 상수 C를 포함한다. 그리고 위에서 원시함수라는 표현을 썼는데 이 원시함수를 구하는 게 부정적분이다.

 

\[ F'(x) = f(x) \implies \int f(x) \, dx = F(x) + C \]

 

적분 전 함수와 적분 뒤 함수의 관계

 

적분은 누계이다. 적분 전 원래 함수 값을 계속해서 더해 나간다.

원래 함수 값이 음수면 적분 후 함수 값은 작아진다. 원래 함수의 음수 값이 클수록 적분 후 함수의 음의 기울기는 더 커진다.

원래 함수값이 0이면 적분 후 함수 값은 변함 없다. 적분 후 함수의 기울기는 0이다.

원래 함수 값이 양수면 적분 후 함수 값은 커진다. 원래 함수의 양수 값이 클수록 적분 후 함수의 양의 기울기는 더 커진다.

 

부정적분 예시

 

적분 후 그래프는 누계를 어디서 시작했는지에 따라 위치만 바뀔 뿐 그래프의 모양은 달라지지 않는다. 그래프의 모양은 적분 전 함수의 값이 뭐였는지에 따라 결정이 나기 때문이지, 어디서 시작했느냐는 상관 없기 때문이다. 어디서 시작했는지 정해주면 적분상수 C만 바뀐다.

 

다시 정적분과 부정적분을 표로 정리해봤다.

구분	정적분	부정적분
정의	특정 구간에서 함수의 넓이를 계산	함수의 원시함수를 구하는 것
결과	숫자	함수 \( (F(x) + C) \)
상한/하한	상한과 하한 \( (a, b) \)필요 - 넓이를 계산하므로	상한과 하한 없음 - 함수의 일반적인 형태만 추구하므
적용	넓이, 물리적 양 계산 (속도 → 거리, 힘 → 일 등)	원시함수 구하기, 미분 방정식 풀이 등
식	\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]	\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]