그래프의 이해 - 좌표평면, 직교 좌표계

그림으로 그리는 경제를 포스팅하면서, 아무래도 수학에 대해 간단히 집고 넘어가지 않을 수 없게 되었다.

 

그래프란 무엇일까. 단순하다. 공간 위에 위치를 그려놓는 것이다.

어떤 세 점을 그려보자. 그런데 이 세점의 위치를 누군가에 설명할 때 어떻게 할 것인가?

파란 점은 빨간 점에서 오른쪽으로 2cm, 위로 2cm 떨어져있고, 초록 점은 빨간 점에서 오른쪽으로 3cm, 위로는 0cm 떨어져있다. 우리는 위치를 설명할 때 자연스럽게 기준을 잡는다. 그래야 위치를 설명할 수 있다. 이 자연스런 생각이 곧 좌표평면이다.

좌표평면이란 원점을 기준으로  x축으로 얼마나 떨어져있는지, y축으로 얼마나 떨어져 있는지 좌표를 찍어가며 그리는 평면이다.

위와 같이 그리고, 초록 점은 (3,0)으로 파란 점은 (2,2) 라고 간단히 표기한다. 기준인 빨간 점은 (0,0)이다.
그리고 이 x축와 y축은 서로 수직(직교)으로 그린다. 그래서 직교 좌표계라 부른다. 그런데 왜 축은 수직(직교)이여야 할까?

위 그래프를 보자. y축이 x축과 수직하지 않게 그렸다. 위와 같은 좌표계에서 파란 점의 위치는 (0,3)으로 표시할 수 있을까? 그렇다. 초록 점은 (3,0)이 된다. 축을 따라가는 점을 표현하긴 쉽다. 그러나 축위의 점이 아닌 다른 점을 보자. 보라색 점의 경우 어떻게 표현할 수 있을까? 할 수는 있다. 하지만 직관적으로 이해하기 어렵고 계산이 복잡해진다. x축 방향으로도 갔고, y축 방향으로도 갔기 때문이다. 초록과 파란 점의 중간 쯤 찍었으므로 아마 근사적으로 (1.5, 1,5) 가 되긴 할 것이다.(제대로 계산하려면 상당한 수학 과정이 필요하니 넘어가자.) 이런 좌표가 직관적인가? 아니다. 축을 따라 칸의 수를 세면 되는 기존 직교 좌표계와 다르게 축이 직교가 아니면 칸의 수를 세서는 좌표의 위치를 알 수가 없고 수학적으로 표현하기가 어려워진다.

직교 좌표를 쓰면 x축과 y축이 독립적이다. 직교 좌표계에선 y축으로 얼마나 떨어져 있든 x축과 아무 상관이 없다. 반대로 x축으로 얼마나 떨어져 있든 y축과 상관이 없다. 편한 방법을 놔두고 굳이 어려운 방법을 쓸 필요는 없다. 그래서 평면 좌표계는 사용하기도 쉽고 직관적인 직교 좌표계가 되는 것이다.

 

그리고 평면을 넘어 3차원 공간으로 확장하면 좌표공간이 된다. 좌표공간 역시 직교 좌표계를 써야 편하다. 그래서 x축에도 수직하고 y축에도 수직인 z축을 쓴다.

위 그림에서 z축이 추가되었다. z축은 x,y가 그리는 2차원 평면에 수직으로 뚫고 나오는 축이다. 위 그래프에서 보라색 점의 좌표는 (1,1,1)이 된다.(순서대로 x, y, z 이다.) 2차원 평면에 3차원 공간을 그리려고 하면 한계가 생긴다. 정육면체를 놓아 보라색 점의 위치를 추정할 수는 있다. 위의 파란 점은 어떻게 봐야할까? z축에 있는 점일까? x,y 평면에 있는 점일까?  3차원 공간을 2차원에 표현했으니 저 그림만 보면 알 수 없다.

 

3차원부터는 그리기 어려워진다. 비록 우리가 사는 세상이 3차원이지만 우리가 그리는 공간은 2차원 평면이기 때문이다.

그래도 우리는 3차원 공간에 사는 덕분에 3차원까지는 친숙하다. 머릿속에서 이미지화를 시킬 수 있다.

 

4차원은 어떨까? x,y,z축과 모두 수직인 축을 그리면 된다. 그게 4차원의 정의다. 마찬가지로 5차원은 4차원 축에 다 수직인 축이 생기는 것이다. 3차원은 경험을 통해 머릿속에 이미지화 할 수 있지만, 4차원부터는 머릿속에 이미지화를 할 수가 없게 된다. 어렵지만 3차원에 직교하는 축이 더 생겨나는 식으로 이해해야한다. 상상하긴 어렵지만 이렇게 축만 만들어 내면 되니 수학에선 차원을 늘리기 쉽다.

 

다음엔 그래프 읽는 법과 함수에 대해 알아보자

그래프의 이해 - 그래프 읽는 법과 함수

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